Monty Hall problem

Monty Hall Problem(蒙提霍尔问题)是一个相当有趣的概率问题，我记得在高中学到贝叶斯定理的时候，数学书里还有一页来介绍。不过我在高中时候并没有好好去阅读这页内容，所以你可以认为直到我准备写这篇 blog 之前(maybe a few days ago?)，我还是不理解的状态。好在我现在彻底搞懂了。虽然有点丢人，毕竟我的专业是统计学。

这个问题是这样的：

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道所有门后面有什么的主持人，开启了另两扇中 其中一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：「你想选择二号门吗？」变换你的选择对你来说是一种优势吗？

一般人可能都会选不换，直觉的想，无论换不换都是 $\frac{1}{2}$ 的概率。但是如果你接触过贝叶斯，你会知道这个问题不是那么简单。
我们可以这样想，无论怎么说，我们第一次选择的门后面只可能出现两种情况：山羊或者车。

因此我们可以这样想：起初我们选择每一扇门的概率是 $\frac{1}{3}$，这是很显然的。所以我们可以分成三种情况来看。

第一种情况

此时我们第一次选择了一只羊，发生的概率为 $\frac{1}{3}$。
由于主持人知道汽车所在的位置，因此他必须打开另一扇羊所在的门，而不会打开汽车所在的门。
此时，剩下唯一一扇没有打开的门就是汽车所在的位置。
因此：

• 如果选择换门，我们将从原来的羊换到汽车，最终获得汽车；
• 如果坚持原来的选择，则仍然会停留在原来的羊，最终失败。

第二种情况

此时我们第一次选择了汽车所在的门，发生的概率为 $\frac{1}{3}$。
由于主持人知道每扇门后的物品，因此他必须打开剩余两扇门中的一扇羊所在的门，而不会打开汽车所在的门。
此时，剩下唯一一扇没有打开的门就是另一只羊所在的位置。
因此：

• 如果选择换门，我们会从原来的汽车换到羊，最终失败；
• 如果坚持原来的选择，则仍然保留最初选中的汽车，最终获胜。

第三种情况

由于第三种情况和第一种情况几乎一样，因此不再赘述。

问题到这里已经成为了一个简单的古典概型问题：

更「数学」的方法

设事件：

根据贝叶斯公式：

由于第一次选择汽车的概率为：

如果第一次选择的就是汽车，主持人有两扇羊门可以选择打开，因此：

而主持人打开羊门的总概率为：

其中：

当第一次选择不是汽车时，主持人一定能够打开一扇羊门，因此：

所以：

最终：

由于蒙提霍尔问题只有两种结果，即换门获胜或坚持获胜。从而有：

读到这里，我想信你对这个问题已经有了相当深入的理解。概率论确实常常出现这些有趣而 tricky 的问题。
值得一提的是，历史上最多产的数学家之一 埃尔德什·帕尔 也对于「换门」这个策略持怀疑态度¹，直到他看到了计算机模拟的结果。
因此，第一次碰到不会是相当正常的事情。事实上，从数学中，尤其是概率论里，我深深感受到了直觉的不可靠😓