如何理解实变函数的上下极限？

想象你每天记录一只小恐龙跳上了多高的台阶:
$2,\ 5,\ 1,\ 4,\ 3,\ 4,\ 3,\ 4,\ 3,\ldots$

Google 小恐龙跑步 GIF

开头它曾跳上第 5 级台阶，但后来再也没跳到过。过了很久，它总是在第 3 级和第 4 级之间交替：

因此直观上来说，上下极限刻画的是反复到达的「最高」或「最低」的附近。

现在，我们用严谨的数学语言来刻画数列的上下极限：

设 $\{a_n\}$ 是一个实数数列。从第 $n$ 项起，考虑它后面的所有项：

a_n,a_{n+1},a_{n+2},\ldots

记这部分数列的上确界与下确界分别为

s_n=\sup_{k\geq n}a_k, \qquad t_n=\inf_{k\geq n}a_k.

什么是上、下确界

设 $A$ 是一个实数集合。如果 $M$ 满足

x\le M,\qquad \forall x\in A,

那么 $M$ 称为 $A$ 的一个上界。所有上界中最小的一个，称为 $A$ 的上确界，记作

\sup A.

类似地，若 $m\le x$ 对一切 $x\in A$ 成立，则 $m$ 是 $A$ 的下界；所有下界中最大的一个，称为 $A$ 的下确界，记作

\inf A.

例

设

A=(0,1)

没有最大值和最小值，但

\sup A=1,\qquad \inf A=0.

上确界和下确界不一定属于集合本身。

随着 $n$ 增大，考察的范围越来越小。因此， $s_n$ 单调不增， $t_n$ 单调不减。

Tip

从第 $n+1$ 项开始的尾部，只是从第 $n$ 项开始的尾部中去掉了 $a_n$ :

\{a_{n+1},a_{n+2},\ldots\} \subseteq \{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\ldots\}.

少掉一个数后，不会出现更高的数，所以上确界只能不变或降低：

s_{n+1}\le s_n.

同样，不会出现更低的数，所以下确界只能不变或升高：

t_{n+1}\ge t_n.

Example

对尾部 $\{5,1,4,3,4,3,\ldots\}$ ，上确界为 $5$ ，下确界为 $1$ 。

我们定义

\limsup_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}s_n = \inf_{n\geq 1}\sup_{k\geq n}a_k,

\liminf_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}t_n = \sup_{n\geq 1}\inf_{k\geq n}a_k.

如何理解

\inf_{n\geq 1}\sup_{k\geq n}a_k

正如我们的示例数列，依次考察其每一段尾部：

s_n=5,\ 5,\ 4,\ 4,\ 4,\ldots

它们的下确界是 $4$ 。
同理，可以理解 $\sup_{n\geq 1}\inf_{k\geq n}a_k$

从数列推广到集列

现在，把每一项数字换成一个集合，得到集列

A_1,A_2,A_3,\ldots

对于数列，我们考察尾部的上确界和下确界，对于集列，相应地考察尾部的并集和交集：

\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k, \qquad \bigcap_{k=n}^{\infty}A_k.

尾部并集中的元素，只要在第 $n$ 项以后的某个集合中出现过即可。尾部交集中的元素，则必须属于第 $n$ 项以后的每个集合。由此定义集列的上极限与下极限：

\limsup_{n\to\infty}A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k,

\liminf_{n\to\infty}A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k.

Example

设

A_1=\{a,b\},\qquad A_2=A_3=\cdots=\{a,c\}.

也就是说， $b$ 只在开始时出现一次； $a,c$ 则从第二项起始终出现。

对每一段尾部，先取并集：

\begin{aligned} \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k&=\{a,b,c\},\\ \bigcup_{k=2}^{\infty}A_k&=\{a,c\},\\ \bigcup_{k=3}^{\infty}A_k&=\{a,c\}. \end{aligned}

再取这些尾部并集的交集，便会排除只在开头出现过的 $b$ :

\limsup_{n\to\infty}A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k = \{a,c\}.

对每一段尾部，再取交集：

\begin{aligned} \bigcap_{k=1}^{\infty}A_k&=\{a\},\\ \bigcap_{k=2}^{\infty}A_k&=\{a,c\},\\ \bigcap_{k=3}^{\infty}A_k&=\{a,c\}. \end{aligned}

最后取这些尾部交集的并集，便会加入从第二项起始终出现的 $c$ :

\liminf_{n\to\infty}A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k = \{a,c\}.

这两个式子也可以从元素的角度来理解：

$x\in\displaystyle\limsup\limits_{n\to\infty}A_n$ ：无论从哪一项开始往后看， $x$ 都还会出现，也就是说， $x$ 属于无穷多个 $A_n$ ，换句话说，就是只在前面几次出现过的元素会被筛出。
$x\in\displaystyle\liminf\limits_{n\to\infty}A_n$ ：从某一项开始， $x$ 始终出现，也就是说， $x$ 属于此后每一个 $A_n$ ，换句话说，就是只要在某一项开始之后出现过，这个元素就会一直存在。

因此，属于下极限的元素一定也属于上极限：

\liminf_{n\to\infty}A_n \subseteq \limsup_{n\to\infty}A_n.

当两者相等时，我们说集列 $\{A_n\}$ 收敛，并把这个共同的集合记为 $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}A_n$ 。